Comment la direction de la Qibla est calculée

Deux questions semblent n'en faire qu'une mais sont entièrement différentes : de quel côté se trouve la Kaaba depuis l'endroit où je suis ? et vers quoi pointe la boussole de mon téléphone en ce moment ? La première a une réponse géométrique déterministe. La seconde est une lecture de capteur influencée par son environnement. Cette page explique la première avec précision, et pourquoi aucune des deux ne remplace l'autre.

La Qibla est une direction sur une sphère, non un trait sur une carte plate

Ce qui égare le plus, c'est de se représenter une carte murale et de relier sa ville à La Mecque à la règle. Mais la Terre n'est pas plate, et les cartes de Mercator déforment la direction d'autant plus qu'on s'éloigne de l'équateur.

La Qibla est le plus court chemin à la surface d'une sphère — un arc de grand cercle — et la direction dont vous avez besoin est l'angle sous lequel vous vous engagez sur cet arc.

C'est pourquoi les résultats déjouent l'intuition. Depuis New York, la Qibla est à 58°, au nord-est plutôt qu'à l'est, alors que La Mecque se trouve au sud-est sur une carte plate. Depuis Le Cap elle est à 23°, depuis Tokyo à 293° et depuis Jakarta à 295° — au nord-ouest dans ces deux derniers cas.

La formule utilisée

Le cap initial du grand cercle entre deux points se calcule avec la formule standard :

y = sin(Δλ) · cos(φ₂)
x = cos(φ₁) · sin(φ₂) − sin(φ₁) · cos(φ₂) · cos(Δλ)
θ = atan2(y, x)

où φ₁ est votre latitude, φ₂ celle de la Kaaba, et Δλ la différence de longitude. Le résultat en radians est converti en degrés.

Ce cap est rapporté au nord géographique, car l'équation est purement géographique et ne contient aucun terme magnétique. Nous y reviendrons.

La valeur affichée est le cap initial du grand cercle depuis votre position vers la Kaaba. Si quelqu'un parcourait physiquement cette route en grand cercle, le cap changerait progressivement au fil du trajet. Tant que vous restez où vous êtes, la valeur est fixe.

Le modèle terrestre utilisé

TimesPrayers utilise un modèle terrestre sphérique pour ce calcul. Le cap et la distance reposent donc sur la géométrie du grand cercle sur une sphère, et non sur un modèle géodésique ellipsoïdal plus complexe.

Les coordonnées de la Kaaba

Les coordonnées utilisées par TimesPrayers sont 21.4225° N, 39.8262° E. C'est un point fixe unique : le résultat ne change donc que lorsque votre propre position change.

La distance

La distance est calculée par la formule de Haversine sur une sphère de rayon 6371 km et affichée arrondie au kilomètre le plus proche. C'est une distance de surface le long de l'arc, non une ligne droite à travers la Terre.

Remarquez Riyad et Sanaa : toutes deux sont proches de La Mecque, et pourtant la Qibla depuis Riyad est au sud-ouest et depuis Sanaa au nord-ouest. Le cap dépend de la position relative, non de la distance.

Pourquoi la valeur est parfois négative avant normalisation

atan2 renvoie une valeur comprise entre −180° et 180°. Tout cap supérieur à 180° ressort donc négatif, et il est normalisé en ajoutant 360 puis en prenant le reste modulo 360 :

Ce site affiche le cap à deux endroits : un nombre entier sur le badge visible, et deux décimales dans la grille de détails. Les deux proviennent du même calcul ; seul l'affichage diffère.

La boussole de votre appareil n'est pas ce calcul

C'est là le point essentiel. Le nombre ci-dessus est déterministe : donnez-lui les mêmes coordonnées et il renvoie le même résultat à chaque fois. L'aiguille qui bouge sur votre écran provient des capteurs de l'appareil, et se comporte tout autrement.

Deux chemins différents pour deux plateformes

Sur iOS, le site utilise directement le cap fourni par le système. Sur Android, le cap est dérivé de la matrice de rotation de l'appareil avec compensation de l'inclinaison et de la rotation de l'écran, afin que la lecture ne dérive pas quand vous tenez le téléphone de biais ou que vous faites pivoter l'écran.

Absolu contre relatif

Les spécifications des navigateurs distinguent deux sortes de lecture d'orientation : l'absolue, rapportée au référentiel terrestre, et la relative, dont le référentiel est arbitraire — autrement dit son « zéro » peut fort bien ne pas être le nord.

Ce site privilégie donc la lecture absolue, et une fois qu'il en a vu une, il ignore les lectures relatives ultérieures, afin qu'un zéro arbitraire ne puisse pas corrompre un cap correct. Si seule une lecture relative est disponible, le site affiche un avis de faible précision de la boussole. Si aucune lecture n'est disponible, il masque l'aiguille en direct et affiche le cap calculé comme un nombre fixe.

Nord géographique et nord magnétique

Le cap mathématique de la Qibla est rapporté au nord géographique, tandis que le cap affiché en direct provient des capteurs de l'appareil et peut être rapporté au nord magnétique. L'angle entre les deux s'appelle la déclinaison magnétique ; elle varie selon le lieu et évolue dans le temps — c'est pourquoi les modèles mondiaux qui la décrivent sont révisés tous les cinq ans.

TimesPrayers n'applique pas actuellement de correction distincte de déclinaison magnétique. L'aiguille peut donc ne pas tomber exactement sur le nombre calculé.

La précision n'est pas le nombre de décimales

Une valeur affichée avec une décimale ne signifie pas que la direction réelle de la boussole soit exacte à ce degré près ; la précision des capteurs dépend de l'appareil, de son environnement et du champ magnétique. Les magnétomètres sont sensibles à ce qui les entoure : objets métalliques, haut-parleurs, coques magnétiques, voitures, armatures d'acier des bâtiments. Décrire un huit avec le téléphone aide le système à se recalibrer.

Ce qu'il faut en retenir : le nombre calculé est la référence stable ; l'aiguille est un outil approché pour s'en servir.

À propos d'un léger écart

Beaucoup demandent ce qu'il advient si l'on s'écarte un peu de la direction calculée. Cela relève de la jurisprudence, traitée par les savants avec un détail qui varie selon la situation de chacun et sa capacité à déterminer la direction. Nous exposons le calcul et ses limites, et n'émettons aucun avis juridique à ce sujet ; cela est renvoyé aux savants qualifiés ou à l'autorité que suit l'utilisateur.